Основы классической теории потенциала

  

Брело М. Основы классической теории потенциала. — М.: Мир, 1964.

Предлагаемая книга возникла из курса лекций, читанных известным французским математиком М. Брело в Парижском университете. В ней излагаются основные концепции современной теории потенциала в том виде, как они развиваются французской математической школой со времен А. Пуанкаре н А. Лебега. Изложение ведется в классической форме, т. е, применительно к евклидовым пространствам.



Оглавление

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 2. Топологическая лемма (Шоке)
§ 3. Классическая лемма Дени-Картана
§ 4. Перечень свойств сходимости и компактности для гармонических функций
§ 5. Норма Дирихле и теорема полноты
§ 6. Уравнение dT=0 в смысле теории обобщенных функций
§ 7. Решение задачи Дирихле в кольце
§ 8. Непрерывность градиента гармонической функции на границе
Глава II. ФУНКЦИИ СУПЕРГАРМОНИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ СУПЕРГАРМОНИЧЕСКИЕ
§ 2. Параметры Бляшке — Привалова
§ 3. Супергармонические функции
§ 4. Примеры супергармонических и субгармонических функций
§ 5. Локальные свойства
§ 6. Аппроксимация супергармонических функций
§ 7. Теорема Рисса о выпуклости
§ 8. Гармонические миноранты
§ 9. Почти супергармонические функции (Шпильрейн)
Глава III. ВВЕДЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ МНОЖЕСТВ
§ 2. Свойства
Глава IV. КЛАССИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
§ 2. Использование обобщенных функций
§ 3. Функция Грина для шара и потенциал Грина
§ 4. Закон взаимности
§ 5. Непрерывность потенциала на носителе масс
§ 6. Преобразования пространства
Глава V. КЛАССИЧЕСКИЕ И ОБЩИЕ ЕМКОСТИ
§ 1. Емкостный потенциал и емкость компактного множества
§ 2. Свойства емкости и емкостного потенциала
§ 3. Емкости произвольных множеств
Вторая часть. Емкость Шоке
§ 5. Последовательные разности
§ 6. Внутренняя емкость множества
§ 7. Внешняя емкость
§ 8. Измеримые множества
Глава VI. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ПОТЕНЦИАЛА И ТЕОРЕМА СХОДИМОСТИ. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ-ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ВЫМЕТАНИЯ
§ 2. Полунепрерывные и регулярные ядра
§ 3. Теорема сходимости
§ 4. Применение к классическому случаю
§ 5. Классические применения теоремы сходимости
Глава VII. РАЗРЕЖЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 2. Свойства
§ 3. Общий критерий разреженности
§ 4. Основная теорема о множестве точек разрежения некоторого множествах)
§ 5. Случай замкнутых множеств
§ 6. Тонкая топология
Глава VIII. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Rn
§ 2. Свойства
§ 3. Случай конечных и непрерывных граничных данных
§ 4. Основная теорема разрешимости
§ 5. Устранимые множества на границе
§ 6. Поведение решения на границе
§ 7. Поведение Hf в иррегулярной граничной точке х0, когда функция f разрешима
Глава IX. ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ 2. Продолжение функции Грина
§ 3. Различные применения; характеризация иррегулярных точек
§ 4. Гармоническая мера и выметание
§ 5. Глобальное представление Рисса на произвольном открытом множестве
§ 6. Наилучшая и наибольшая гармонические миноранты
§ 7. Выметание в произвольном ограниченном открытом множестве с ядром Грина
Глава X. НОРМА И ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ
§ 2. Классический принцип Дирихле
§ 3. Функции типа BLD
Глава XI. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
§ 2. Взаимная энергия двух положительных мер
§ 3. Энергия мер произвольного знака
§ 4. Принцип мажорирования или принцип максимума А. Картана
§ 5. Основная теорема А. Картана
§ 6. Проекция в F
§ 7. Выметание относительно произвольного компактного множества
§ 8. Емкостное распределение и энергия
§ 9. Энергия и интеграл Дирихле
§ 10. Распространение на случай ограниченной области «омега» в пространстве Rn
Глава XII. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ГРАНИЦА МАРТИНА
§ 2. Интегральное представление положительных гармонических функций
§ 3. Формулировка теоремы Шоке и ее применение
§ 4. О роли границы Мартина
КРАТКИЙ ОБЗОР И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ СОВРЕМЕННОЙ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
ПРИЛОЖЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ГАРМОНИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
§ 2. Применение обыкновенного лапласиана
§ 3. Конформнее преобразование
§ 4. Логарифмический потенциал
§ 5. Аналитичность гармонических функций
§ 6. Интеграл Пуассона
§ 7. Семейства гармонических функций. Сходимость
§ 8. Изучение гармонических функций в окрестности особой точки
§ 9. Распространение на евклидовы пространства Rn