Введение в комплексный анализ

  

Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Изд-во: Лань. - 577 с.

В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса.

В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики. Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Комплексные числа.
2. Топология комплексной плоскости.
3. Пути и кривые.
4. Области.
§ 2. Функции комплексного переменного
6. Дифференцируемость.
7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация.
§ 3. Элементарные функции
9. Геометрические свойства.
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы.
11. Некоторые рациональные функции.
12. Показательная функция.
13. Тригонометрические функции.
ГЛАВА II. СВОЙСТВА ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
15. Первообразная.
16. Гомотопия. Теорема Коши.
17. Обобщения теоремы Коши.
18. Интегральная формула Коши.
§ 5. Ряды Тейлора
20. Свойства голоморфных функций.
21. Теорема единственности.
22. Теорема Вейерштрасса
§ 6. Ряды Лорана и особые точки
24. Изолированные особые точки.
25. Вычеты.
ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 7. Понятие аналитического продолжения
27. Продолжение вдоль пути.
§ 8. Понятие аналитической функции
29. Элементарные функции.
30. Особые точки.
§ 9. Понятие римановой поверхности
ГЛАВА IV. ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
§ 10. Геометрические принципы
34. Принцип сохранения области.
35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца.
§ 11. Теорема Римана
37. Принцип компактности.
38. Теорема Римана.
§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии
40. Принцип симметрии.
41. Эллиптический синус и модулярная функция.
ГЛАВА V. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 13. Разложения целых и мероморфных функций
43. Теорема Вейерштрасса.
§ 14. Гармонические и субгармонические функции
45. Задача Дирихле.
46. Субгармонические функции.
ГЛАВА I. ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Простейшие области.
§ 2. Понятие голоморфности
4. Плюригармонические функции.
5. Основная теорема Хартогса.
§ 3. Голоморфные функции
7. Степенные ряды.
ГЛАВА II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 4. Многообразия и формы
11. Понятие интеграла от формы.
§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре
13. Дифференцирование форм.
14. Формула Стокса.
15. Теорема Коши — Пуанкаре.
§ 6. Интегральные представления
17. Теорема Севери.
18. Формула Вейля.
ГЛАВА III. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 7. Области голоморфности
20. Понятие области голоморфности.
21. Голоморфная выпуклость.
22. Свойства областей голоморфности.
§ 8. Псевдовыпуклость
24. Выпуклость в смысле Леви.
25. Плюрисубгармонические функции.
26. Псевдовыпуклые области.
§ 9. Оболочки голоморфности
28. Области наложения.
29. Многолистные оболочки голоморфности.
ГЛАВА IV. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА
§ 10. Мероморфные функции
31. Первая проблема Кузена.
32. Решение для поликругов.
33. Применения. Вторая проблема Кузена.
§ 11. Методы теории пучков
35. Группы когомологий.
§ 12. Применения
37. Решение первой проблемы Кузена.
38. Решение второй проблемы Кузена.
39. Решение д-проблемы и проблемы Леви.
ГЛАВА V. ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ
§ 13. Многомерные вычеты
40. Теория Мартинелли.
41. Теория Лере.
42. Логарифмический вычет.
§ 14. Аналитические множества
44. Локальное обращение голоморфных функций.
§ 15. Аналитичность множества особенностей
46. Существенно особые точки.
47. Теорема о вложенном ребре.
ГЛАВА VI. ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 16. Автоморфизмы простейших областей
49. Автоморфизмы пространства.
50. Автоморфизмы некоторых областей.
§ 17. Инвариантная метрика
52. Метрика Бергмана.
53. Поведение кернфункции на границе.