Для доступа к данной книге необходима авторизация

Логин: пароль Запрос доступа

Трансцендентные числа

  

Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.— 448 с.

Излагаются важнейшие результаты, полученные в теории трансцендентных чисел с помощью одного из основных ее методов, являющегося обобщением классического метода Эрмита — Линдемана. Этот метод ведет свое начало от работы К. Зигеля, опубликованной в 1929 г., и получил за последние 30 лет существенное развитие. С его помощью была установлена иррациональность, трансцендентность и алгебраическая независимость значений некоторых классов аналитических функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэффициентами.

Для научных сотрудников, работающих в области теории чисел, теории функций и алгебры, а также для студентов, аспирантов университетов и педагогических институтов.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Приближение алгебраических чисел
§ 2. Классический метод Эрмита — Линдемана
§ 3. Методы, возникшие при решении седьмой проблемы Гильберта, и их дальнейшее развитие
§ 4. Метод Зигеля и его дальнейшее развитие
Глава 1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
§ 1. Приближение действительных чисел рациональными числами
§ 2. Совместные приближения
§ 3. Приближение алгебраических чисел рациональными числами
§ 4. Приближение алгебраических чисел алгебраическими числами
§ 5. Дальнейшие усиления и обобщения теоремы Лиувилля
Замечания
Глава 2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧКАХ
§ 1. Трансцендентность числа e
§ 2. Трансцендентность числа «пи»
§ 3. Трансцендентность значений показательной функции в алгебраических точках
§ 4. Приближение функции e^z рациональными функциями
§ 5. Линейная приближающая форма для функции ...
§ 6. Совокупность линейных приближающих форм
§ 7. Теорема Линдемана
§ 8. Линейные приближающие формы и разложение показательной функции в интерполяционный ряд Ньютона
Замечания
Глава 3. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, НЕ СВЯЗАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Е-функции
§ 2. Первая основная теорема
§ 3. Некоторые свойства линейных и дробно-линейных форм
§ 4. Свойства линейных форм от функций, удовлетворяющих системе линейных однородных дифференциальных уравнений
§ 5. Порядок нуля линейной формы при z = 0
§ 6. Определитель системы линейных форм
§ 7. Переход к числовым линейно независимым линейным формам
§ 8. Вспомогательные предложения о решениях систем линейных однородных уравнений
§ 9. Функциональные линейные приближающие формы
§ 10. Числовые линейные приближающие формы
§ 11. Ранг совокупности чисел
§ 12. Доказательство первой основной теоремы
§ 13. Следствия из первой основной теоремы
Замечания
Глава 4. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 2. Вспомогательные предложения
§ 3. Оценки размерностей векторных пространств, порожденных произведениями степеней элементов из расширения некоторого поля
§ 4. Третья основная теорема
§ 5. Трансцендентность значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 6. Алгебраическая независимость значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 7. Е-функции, связанные уравнениями специального вида
§ 8. Е-функции, связанные алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами
§ 9. Е-функции, связанные одним алгебраическим уравнением вид C(z)
§ 10. Минимальные уравнения
§ 11. Размерности векторных пространств, порожденных произведениями степеней элементов из расширения некоторого поля
§ 12. Алгебраическая независимость значений IE-функций
§ 13. Алгебраическая независимость значений КЕ-функций
Замечания
Глава 5. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Е-ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Гипергеометрические Е-функции
§ 2. Простейшая гипергеометрическая Е-функция
§ 3. Совокупность решений линейных дифференциальных уравнений первого порядка
§ 4. Вспомогательные предложения
§ 5. Доказательства теорем
Замечания
Глава 6. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИИ Е-ФУНКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Общая теорема об алгебраической независимости значений Е-функции и ее производной
§ 2. Функции K(z), связанные с функциями Бесселя
§ 3. Функции ...
§ 4. Функции Куммера
§ 5. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений
Глава 7. РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА
§ 1. Решения неоднородных дифференциальных уравнений
§ 2. Решения однородных дифференциальных уравнений
§ 3. Следствия из теорем 1 и 2
Глава 8. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА АРИФМЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
§ 2. Вспомогательные предложения
§ 3. Доказательства теорем 1—5
§ 4. Доказательства теорем 6 и 7
§ 5. Дальнейшие результаты
Глава 9. ТЕОРЕМА ЗИГЕЛЯ
§ 2. Вспомогательные предложения
§ 3. Некоторые свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
§ 4. Алгебраическая независимость решений совокупности линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка
§ 5. Доказательство теоремы Зигеля
§ 6. Решения линейных неоднородных дифференциальных уравнении
§ 7. Обобщение теоремы Зигеля
Глава 10. РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОСТОГО ПОРЯДКА p
§ 2. Однородный идеал J
§ 3. Алгебраические функции нескольких переменных
§ 4. Дифференциальный оператор G
§ 5. Дифференциальные операторы S и «дельта»
§ 6. Лемма о линейном приближении
§ 7. Завершение доказательства теоремы 7
§ 8. Линейная приводимость
§ 9. Доказательства теорем 6 и 5
Замечания
Глава 11. МЕРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ IE-ФУНКЦИЙ
§ 2. Мера линейной независимости значений IE-функций
§ 3. Мера алгебраической независимости значений IE-функций, не связанных алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 4. Вспомогательные предложения
§ 5. Мера алгебраической независимости значений IE-функций, связанных алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 6. Некоторые применения общих теорем
Глава 12. МЕРА АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ ЗНАЧЕНИЙ КЕ-ФУНКЦИЙ
§ 2. Оценки мер значений Е-функций, не связанных алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 3. Оценки мер значений Е-функций, связанных одним алгебраическим уравнением над C(z)
§ 4. Оценки мер значений Е-функций, связанных произвольными алгебраическими уравнениями над C(z)
§ 5. Алгебраическая независимость значений Е-функций в сопряженных полях
§ 6. Вспомогательная теорема
§ 7. Следствия из вспомогательной теоремы
§ 8. Некоторые применения общих теорем
Глава 13. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ МЕР
§ 2. Уточнение основных лемм метода
§ 3. Оценка мер линейной независимости
§ 4. Оценка мер алгебраической независимости
§ 5. Некоторые применения общих теорем
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ